3.5.3 低频不可分变换（LFNST [Low-Frequency Non-Separable Transform]）

低频不可分变换（LFNST [Low-Frequency Non-Separable Transform]） 是高频凋零技术的代表，通过一个 经过离线训练 所得的不可分变换矩阵，来进一步压缩指定范围内的前一次变换结果 [32] 。我们通常将首次变换称为 一次变换（First Transform） 或 主要变换（Primary Transform）。将以一次变换为输入的第二次变换，称为 二次变换（Secondary Transform）。

低频不可分变换（LFNST），与 H.264 中的哈达玛变换（WHT），都属于作用于二次变换的一种处理技术。其本身复杂的部分，在于如何得到 不可分变换矩阵组（NSMG [Non-Separable Matrix Group]）。矩阵组通过特殊的离线小模型计算所得，是一个常量矩阵组。

那么，什么是不可分变换（Non-Separable Transform）？

不可分变换与 LFNST 原理

不可分变换，被用来指代一类，无法分解为独立的行变换与列变换的组合形式表示， 只能 用单一矩阵作统一处理的变换类型。 与之相对的就是可分变换（Separable Transform）。 前文中的离散正弦变换和哈达玛变换，就属于可分变换类型。

可见，对于 可分变换，如果记分离后的行列变化矩阵分别为 $M|_{row}$ 、 $M|_{col}$ ，那么始终有：

${\displaystyle \begin{aligned} Out &= M|_{row} \cdot In \cdot M|_{col} \\ \end{aligned} }$

而对于 不可分变换，则有变换矩阵 $M|_{uni}$ 使得：

${\displaystyle \begin{aligned} Out &= M|_{uni} \cdot In \\ \end{aligned} }$

低频不可分所使用的矩阵组，就属于后一种。

如果记采用一次变换所得 $M \times N$ 大小的输出 作为 LFNST 输入。则 LFNST 需要根据技术执行前置环节中的一些求得信息（如角度预测模式、帧内预测模式）的参数值，来从矩阵组中选取满足条件的常量矩阵 $T$ 。以 $T$ 作为当前 LFNST 的算子参与再次变换。

算法要求，目标算子 $T$ 矩阵的大小为 输入大小的平方，即有 $T$ 取 $MN \times MN$ 尺寸。而输入 $X_k$ 则需要以一维向量形式展开，有：

${\displaystyle \begin{aligned} &X_k = \begin{bmatrix} & X_{11} \ , & X_{12} \ , \cdots,\ & X_{1N} \\ & X_{21} \ , & X_{22} \ , \cdots,\ & X_{2N} \\ & \vdots , & \vdots \ , \cdots,\ & \vdots \\ & X_{M1} \ , & X_{M2} \ , \cdots,\ & X_{MN} \end{bmatrix}_{M \times N} \\ &X_k\prime = \begin{bmatrix} & X_{11} \ , & X_{12} \ , \cdots,\ & X_{M1} \ , \cdots,\ & X_{MN} \end{bmatrix}_{MN \times 1}^{T} \\ \end{aligned} }$

将 $X_k\prime$ 代入标准公式，得到输出结果 $\hat{X}_k\prime$ 为：

${\displaystyle \begin{aligned} \hat{X}_k\prime &= T \cdot X_k\prime \\ \end{aligned} }$

上式即是 低频不可分变换，被应用在二次变换时的基本公式 了。所得 $\hat{X}_k\prime$ 是长度为 $MN \times 1$ 的一维向量，我们需要按照 $X_k \rightarrow X_k\prime$ 的逆过程，反向将其展开到 $M \times N$ 的二维区域，得到变换后的 $\hat{X}_k$ 结果矩阵。

LFNST 变换集矩阵组的获取

在说明原理中我们提到，低频不可分变换中，根据前置参数的差异，会从持有矩阵组里选择合适的算子 $T$ 来代入运算，称之为 变换集（Transform Set）。但因为 H.266 的专利权问题，这一传统机器学习（注意，并未使用深度学习手段）聚类分析模型的训练，所采用的基本数据集和部分过程细节，并没有完全开源。

从 LFNST 原论文中可获知的信息是，针对 不可分二次变换（NSST [Non-Separable Secondary Transform]）的变换集，采用的是基于 K均值（K-Means）聚类分析法 的变体算法。因此，基本训练过程属于标准的双步（2-Stages）无监督学习（Unsupervised Learning），存在两个阶段，分别是：初始阶段（Initialization）和 迭代阶段（Iteration） [33] 。当然，数据也需要分为 准备数据（Preparing Data） 和 训练数据（Training Data），两者皆来自未开放的黑盒数据集。

初始阶段中，主要处理准备数据，进行了两个工作：

首先，进行 特征（Feature）的选择（Selection）和提取（Extraction）。为每一个从 编码过程（Encoding Process） 获取的 变换系数块（Transform Coefficient Block） 随机的分配一个取值范围为 $label \in \mathbb{Z} [0, \ 3]$ 的标签。并将分配好标签的变换系数块的 $M \times N$ 个低频系数，加入到 对应标签聚类（Cluster）的训练用数据集中。 $M \times N$ 为目标输入输出的大小，例如前文采用核心为 $N \times N$ ，那么这里企图训练所得核心的参数 $M = N$ 相等。而选出对应标签的 $M \times N$ 个输入，每个都被认为是独立的一个数据，即每个聚类有 $MN$ 个准备数据，共 4 组 $4MN$ 个准备数据。

其次， 选择聚类算法（Clustering Algorithm Selection） 和 约束条件设计（Constraint Design）。这里采用 K均值算法，通过利用前一步中，标签范围在 $label \in \mathbb{Z} [1, \ 3]$ 的聚类（Cluster）分配好的训练用数据集，以 奇异值分解（SVD [Singular Value Decom-position]） 等解释性较弱但快速的方法，来求解各自聚类的协方差矩阵特征向量的最佳不可分离变换矩阵（采用 SVD 所得即是奇异值矩阵）。进而获得 $label \in \mathbb{Z} [1, \ 3]$ 聚类的 质心（Centroid），与各数据集一起构造了算法 启动输入。而 $label = 0$ 的聚类，则被选做为 对照组（Validation Group），因此该矩阵的质心被设置为单位矩阵 $E = [1]$ ，以输入输出恒等的形式，不再参与迭代阶段的更新。

那么约束条件是怎么设置的呢？这里采用的是，在单次训练过程后，从 3 个聚类的质心与 $label = 0$ 聚类的质心中，选取最小（或下降最明显）的 率失真优化指数（RDO [Rate-Distortion Optimization]） 作为评判标准。筛选出 4 个聚类中 RDO 最优的一个聚类，用新参与训练的对应聚类数据集，替换原有被选最优聚类的数据集，参与下一次迭代。以此，作为 K-均值聚类分析的标准约束。

随后进入迭代阶段。

迭代阶段中，主要处理训练数据，训练同样也分为两步：

首先，进行 聚类验证（Cluster Validation）。聚类验证的过程就和一般的 K均值算法一致，将分批的训练数据交付到 4 个聚类，分别计率失真优化指数（RDO）。之后，用计算结果，按照设置的约束条件进行处理， 更新聚类标定的数据集。

其次，完成 结果解析（Results Interpretation）。当更新聚类当前数据集后，需要重新计算聚类的质心，方法同初始阶段一致。通过求解协方差矩阵，获取最佳不可分离变换矩阵，替代原聚类的质心。显然， $label = 0$ 聚类的质心 $E = [1]$ 并不需要更新。

而下一次迭代是否继续，则根据是否到达模型的 最大迭代次数（该参数未提供经验值，也可根据自身训练情况自行设定），或 RDO 没有进一步降低 来决定。两者命中其一，则停止迭代训练，获取 $label \in \mathbb{Z} [1, \ 3]$ 聚类此时的质心，作为结果构成 $MN \times MN$ 尺寸的变化集：

${\displaystyle \begin{aligned} &T_{MN \times MN} \in \begin{bmatrix} & Cluster_{1} \ , & Clust&er_{2} \ , & Cluster_{3} \ \end{bmatrix}\\ \end{aligned} }$

一般 $T_{MN \times MN}$ 会比较难记，通常简化为根据输入标记，写做 $T_{M \times N}$ 简记。变换集简写为：

${\displaystyle \begin{aligned} &T_{M \times N} \in \begin{bmatrix} & {T_1}|_{M \times N} \ , & T_2|_{M \times N} \ , & T_3|_{M \times N} \ \end{bmatrix}\\ \end{aligned} }$

此时的 $T$ 即是 $M \times N$ 输入尺寸的 低频不可分变换算子（LFNST Opt）。理论上，矩阵 $T$ 会 保留输入源的分布形式，并将之密度梯度化。

若输入前置主变换采用 DCT-2 型，那么二次变换的输入 $X_k\prime$ ，在经过 LFNST 变换后，算子会将低频波密度参数富集到自身靠上方的行信息中，将高频波密度参数富集到靠下方的行信息中。从而实现，变换后输出的相对训练结束时质心位置的相对均匀分布。即维持输出的高低频权重二次变换结果矩阵 $\hat{X}_k$ ，在一维展开式 $\hat{X}_k\prime$ 情况下的类算子高低频分离布局，左侧低频右侧高频。

因此，当还原输出权重矩阵 $\hat{X}_k\prime$ 到 $M \times N$ 大小后，前置 DCT-2 型的低频权重仍然会位于矩阵的左上角。相应，高频则会接近右下角。这样的因素，让主变换采用 DCT-2 型，经过 LFNST 变换后的左上角首个参数值，仍可被当作直流系数（DC）。而结合 H.266/VVC 规格下的包括平面（Planar）模式、直流（DC）模式、65 种角度（Angle）预测模式在内，共计 67 种帧内预测模式本身就需要多组变化集的情况下，对于不同的主变换类型，又要单独再训练一系列变换集。处理代价会高到无法接受。

所以，目前 只将 LFNST 运用在 DCT-2 输入的情况。

至此，在经过多次不同尺寸和模式输入下的模型训练过程后，得到了数个 $M \times N$ 取值不等的矩阵算子 $[T_1, \cdots ,\ T_q]$ 。共同组成了 LFNST 的基础变换集组 $T = [T_1, \cdots ,\ T_q]$ ，亦被称为 基础多变换集（MTS [Multiple Transform Set]），应对目标主变换。

LFNST 有关不可分二次变换（NSST）的化简

经过上述的推理，我们可以察觉到即便是取一个较小的尺寸，整个 LFNST 的运算也会呈指数的增加算力消耗。例如输入的 $M = N = 8$ 时，就需要一个尺寸为 $64 \times 64$ 大小的 LFNST 运算核。但如此大小对于计算机本身的硬件来说，会是一个 巨大的负担。

于是，在 VTM5 有关 LFNST 工程实践的 JVET-K0099 提案中，对 LFNST 的主要应用场景，即二次不可分变换（NSST），做了算法上的调整 [34] 。利用复合基，降低计算成本。

假设当前输入尺寸为 $M \times N$ 大小，有与输入预测模式对应的尺寸为 $MN \times MN$ 的低频不可分变换算子 $T$ 。

NSST 规定，对于 $min(M ,\ N) = 4$ 的输入，统一取用 $4 \times 4$ 输入的算子 $T$ 。对于 $min(M ,\ N) = 8$ 的输入，统一取用 $8 \times 8$ 输入的算子 $T$ 。那么需要保存的算子就只分为 $16 \times 16$ 和 $64 \times 64$ 大小的共计 6 个变换核，即有 $T = [T_{4 \times 4},\ T_{8 \times 8}]$ 变换集。 对于小于输入尺寸的块，补 0 到可以进行计算的大小。

而对于两类变换集，NSST 只需要分离所得的低频权重部分。因此反推算子情况，亦只需要保留所有 MTS 中的算子 $T$ 上方一定行即可。提案中，NSST 在经过多次大批量数据的模拟实验后，确定了最终方案。

取尺寸为 $RN \times RN$ 的 NSST 低频不可分变换算子 $T\prime$ ，代替原有 $MN \times MN$ 大小算子 $T$ 。

对于 $T_{4 \times 4}\prime$ 时的 $4 \times 4$ 输入，由于已经被划分的不可再分的量级，因而对于算子没有办法进行压缩。 $4 \times 4$ 相当于对输入的 再排列，只有右下角的最高频权重有去掉的可能。此类强制过滤的处理都是有损的，不需要做不必要的工作。

而如果强行构造 $2 \times 2$ 输入的算子 $T_{2 \times 2}\prime$ ，则会因为算子训练特性没有分离的空间，使结果反倒太过平均。因此，对于 $2 \times 2$ 大小的输入，无法采用 LFNST 处理。这也阻断了我们通过选用 $T_{2 \times 2}\prime$ 的局部解构建复合基，等效替代更大尺寸基底，来降低变化成本的途径。

所以，此处仍选择取用原 $4 \times 4$ 输入对应的算子 $T_{4 \times 4}$ ，有 $R = 4$ 即：

${\displaystyle \begin{aligned} T_{4 \times 4}\prime = T_{4 \times 4} \\ \end{aligned} }$

对于 $T_{8 \times 8}\prime$ 时的 $8 \times 8$ 输入，因为存在 $T_{4 \times 4}\prime$ 作为基础，就能够使用分离复合基的方式了。我们可以将输出的 $\hat{X}_k$ 分割为 4 个等大的 $4 \times 4$ 区域。以 $4 \times 4$ 区域为一组 复合解基。采用经过训练的 $T_{4 \times 4}\prime$ 作为基底函数族，来求得 $8 \times 8$ 输入情况下，针对 $T_{4 \times 4}\prime$ 的解集，构成输出 $\hat{X}_k$ 。即期望有：

${\displaystyle \begin{aligned} \hat{W}_k &= T_{4 \times 4}\prime \cdot W_k \\ \hat{X}_k\prime\prime &= \sum_{i=1}^4 ( T_{4 \times 4}\prime \cdot W_{4 \times 4} \cdot X_k \prime )_i\\ \end{aligned} }$

其中， $W_k$ 是基于 $T_{4 \times 4}\prime$ 训练的 LFNST 核，它和输出 $\hat{W}_k$ 都为 $4 \times 4$ 大小训练 $8 \times 8$ 的 LFNST 基础分解基，训练完毕后是个 固定值。

而 $\hat{X}_{k}\prime\prime$ 则是输入 $X_k\prime$ 关于 $T_{4 \times 4}\prime \cdot W_{4 \times 4}$ 的变换结果。但一组选定尺寸的 LFNST 变换集，只有 3 个矩阵可作为基底。因此，变换的覆盖范围也是有限的。若将输入 $8 \times 8$ 大小的 $X_k$ 也分为 4 个等大的 $4 \times 4$ 区域，写作如下形式：

${\displaystyle \begin{aligned} &X_k = \begin{bmatrix} & X_k|_{4 \times 4} \ , & X_k|_{4 \times 4} \\ & X_k|_{4 \times 4} \ , & X_k|_{4 \times 4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} & X_{k1} \ , & X_{k2} \\ & X_{k3} \ , & X_{k4} \end{bmatrix} \end{aligned} }$

那么原 $\hat{X}_{k}\prime\prime$ 分离式即变为：

${\displaystyle \begin{aligned} \hat{X}_k\prime\prime &= \begin{bmatrix} & T_1|_{4 \times 4}\prime \ , & T_2|_{4 \times 4}\prime \\ & T_1|_{4 \times 4}\prime \ , & \ [0]_{4 \times 4} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} & W_{k1} \ , & W_{k2} \\ & W_{k3} \ , & W_{k4} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} & X_{k1} \ , & X_{k2} \\ & X_{k3} \ , & X_{k4} \end{bmatrix} \\ &= \sum T_{4 \times 4}\prime \cdot \begin{bmatrix} & W_{k1} \ , & W_{k2} \\ & W_{k3} \ , & [0]_{4 \times 4} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} & X_{k1} \ , & X_{k2} \\ & X_{k3} \ , & [0]_{4 \times 4} \end{bmatrix} \\ \end{aligned} }$

存在 $X_{k4}$ 区域，乘 $0$ 丢解的问题，因此 $\hat{X}_k\prime\prime$ 与 $\hat{X}_k\prime$ 的关系，还需要补充 $X_{k4}$ 的 LFNST 独立解，记为 $\hat{X}_{k4}\prime$ ，有：

${\displaystyle \begin{aligned} {T_{8 \times 8}}^{-1} \cdot \hat{X}_k\prime &= \begin{bmatrix} & {T_1|_{4 \times 4}\prime}^{-1} \ , & {T_2|_{4 \times 4}\prime}^{-1} \\ & {T_3|_{4 \times 4}\prime}^{-1} \ , & \ [0]_{4 \times 4} \end{bmatrix} \cdot {W_{4 \times 4}}^{-1} \cdot \hat{X}_k\prime\prime + {T_{4 \times 4}}^{-1} \cdot \hat{X}_{k4}\prime \\ &= \begin{bmatrix} & {\hat{W}_{k1}}^{-1} \ , & {\hat{W}_{k2}}^{-1} \\ & {\hat{W}_{k3}}^{-1} \ , & {T_{4 \times 4}}^{-1} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} & \hat{X}_k\prime\prime \ , & [0]_{4 \times 4} \\ & [0]_{4 \times 4} \ , & \quad \hat{X}_{k4}\prime \end{bmatrix} \\ &= X_k \end{aligned} }$

即：

${\displaystyle \begin{aligned} \hat{X}_k\prime &= \begin{bmatrix} & \hat{X}_k\prime\prime \ , & [0]_{4 \times 4} \\ & [0]_{4 \times 4} \ , & \quad \hat{X}_{k4}\prime \end{bmatrix} \\ T_{8 \times 8} &= \begin{bmatrix} & \hat{W}_{k1} \ , & \hat{W}_{k2} \\ & \hat{W}_{k3} \ , & T_{4 \times 4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} & T_{4 \times 4}\prime \cdot W_k \ , & T_{4 \times 4}\prime \cdot W_k \\ & T_{4 \times 4}\prime \cdot W_k \ , & T_{4 \times 4} \end{bmatrix} \end{aligned} }$

取用：

${\displaystyle \begin{aligned} T_{8 \times 8}\prime &= \begin{bmatrix} & T_{4 \times 4}\prime \cdot W_k \ , & T_{4 \times 4}\prime &\cdot W_k \\ & T_{4 \times 4}\prime \cdot W_k \ , & &0 \end{bmatrix} \end{aligned} }$

那么原 $8 \times 8$ 输入 $X_k$ 经过 LFNST 变换的输出 $\hat{X}_k\prime$ 就有：

${\displaystyle \begin{aligned} \hat{X}_k\prime &= (T_{8 \times 8}\prime + T_{4 \times 4}\prime )\cdot X_k \\ \end{aligned} }$

而 $\hat{X}_k\prime$ 的右上和左下角，皆为 $[0]_{4 \times 4}$ 值。 $T_{8 \times 8}\prime$ 算子展开去零后，只有 $16 \times 48$ 的运算大小 因为固定了基底 $T_{4 \times 4}\prime$ 的位置，同样也只有 3 个聚类，即 3 个矩阵算子。

最终：

${\displaystyle \begin{aligned} NSST:& \begin{cases} { \begin{aligned} T &= [\ T_{4 \times 4}\prime,\ T_{8 \times 8}\prime \ ] \\ \hat{X}_k\prime &= (T_{8 \times 8}\prime + T_{4 \times 4}\prime )\cdot X_k &, min(M ,\ N) = 8 \\ \hat{X}_k\prime &= T_{4 \times 4}\prime \cdot X_k &, min(M ,\ N) = 4 \end{aligned} } \end{cases} \\ \end{aligned} }$

由 $T_{4 \times 4}\prime$ 和 $T_{8 \times 8}\prime$ 构造新的基础多变换集（MTS）。结合上述变换过程，构成了 NSST 的完整理论基础。

不过，即使 NSST 已经极大的缩减了 LFNST 变换集的大小，并能在参与熵编码后，能更为有效的降低信息熵。但在以 H.265/HEVC 为目标应用时，就需要 35 组 2 类 3 算子的变换集 [34] 。延伸到 H.266/VVC 规格，则会至少需要 67 组 2 类 3 算子变换集。不论是 H.265 还是 H.266 ，都不可能采纳，属于无法工程化的技术。 那么，如何精简基础多变换集呢？

LFNST 在 H.266 应用的工程 RST 与常值 MTS

在 VTM5 的有关 JVET-N0193 提案的提交中，H.266/VVC 采用了 缩减低频不可分变换（R-LFNST [Reduced LFNST]），处理此问题 [33] 。因为是针对 LFNST 的 二次不可分变换（NSST）的逼近算法，R-LFNST 也被称为 缩减二次变换（RST [Reduced Secondary Transform]） [35] 。

缩减二次变换对 LFNST 的 NSST 应用所得 基础多变换集（MTS），进行 整体变换集算子数量 和 算子生效范围，两方面的裁剪。其理论根基仍来源自 NSST 。

RST 在生效范围的调整，主要集中于控制 NSST 在工程实现中的有效计算区域。根据 NSST 的基本公式可以发现，实际上对于尺寸大于 $8 \times 8$ 的 $M \times N$ 大小主变换 $X_k$ 输入，NSST 能起作用的部分仅局限于左上角和与其相邻的，共计 3 个 $4 \times 4$ 大小的范围。

如此一来，介于参与 NSST 的输入已不可再分，对于这三个区域外的的其余 $X_k$ 值， 根本不需要再次进行二次变换处理。而在 $T_{4 \times 4}\prime$ 时和 NSST 一致。

所以，原 NSST 公式可调整为：

${\displaystyle \begin{aligned} RST:& \begin{cases} { \begin{aligned} T &= [\ T_{4 \times 4}\prime,\ T_{8 \times 8}\prime \ ] \\ \hat{X}_k\prime &= T_{8 \times 8}\prime \cdot X_k\prime|_{48 \times 1} &, min(M ,\ N) = 8 \\ \hat{X}_k\prime &= T_{4 \times 4}\prime \cdot X_k &, min(M ,\ N) = 4 \end{aligned} } \end{cases} \\ \end{aligned} }$

即，对于 $M \times N \ge 8 \times 8$ 的情况，就如下图所示：

有 $T_{8 \times 8}\prime$ 时，只需处理图中蓝色部分的 $X_k$ 数据。 经 $T_{8 \times 8}\prime$ 计算后的原输出结果 $\hat{X}_k\prime$ ，安全起见会需要对非左上角部分扫描归零：

之后，叠加至原主变化 $X_k$ 位于计算范围外的部分，构成最终输出 $\hat{X}_k$ 。

经过此番调整后，单次算子计算所需要的算力消耗，较 NSST 相比就非常之小了。

而在 MTS 的算子数量方面，通过整合 K均值聚类机器学习 $label \in \mathbb{Z} [1, \ 3]$ 中，所得 率失真优化指数（RDO）较大的两个聚类的变换矩阵，将原有输入固定预测模式和尺寸时的 NSST 变换集，从 3 个矩阵精简到了 2 个，成为双算子形式：

${\displaystyle \begin{aligned} &T_{M \times N} \in \begin{bmatrix} & {T_1}|_{M \times N} \ , & T_2|_{M \times N} \ \end{bmatrix}\\ \end{aligned} }$

同时，RST 对需要处理的 H.266 规格下的各类帧内预测模式进行了分类。将原本需要单独生成变换集的平面（Planar）模式、直流（DC）模式、角度（Angle）预测模式进行了拆解。把临近相似方向的角度预测模式进行了分类。之后归类于 4 个主流变换集到如下索引 [32] ：

凭借这样的处理，使得原本大于 $67 \times 2 \times 3$ 个 MTS 矩阵，缩减到了 $4 \times 2 \times 2$ 共计 8 个（详见【附表一】）的可接受范围。

至此，根据输入尺寸大小、预测模式所处归类、输入率失真优化指数（RDO）这 3 个参数，就能够选定具体的算子进行相关处理了。完成 RST 的工程化。

到这里，信息频域分离和部分冗余处理，就已经完成了。随后再配合传统音视频的量化和熵编码，即可完成对信息剩余存储空间冗余的压缩。此处不再赘言。