3.4.2 双向光流预测（BDOF [Bi-Directional Optical Flow]）

双向光流预测值修正，简称 双向光流预测（BDOF [Bi-Directional Optical Flow]），最早在 H.265 的二版规格，由三星工程师以编码压缩补充手段的方式提出 [29] 。在 VVC 的初版制定过程中，贡献者们通过对算法层面的优化，提升了 BDOF 处理单元的性能。随 VVC 被采纳为 H.266 规格一起，作为标准的一部分被收录其中。

双向光流预测是以 LK 光流法的约束条件为基础，提出的一种亮度值推理算法。方法在编解码过程中以 LK 微位移假设为基，限制所有前后向预测帧（B帧）的选取，必须保持 当前帧（Current Frame） 与前后两帧在相同位置处的光流成 等大反向关系（Reverse Equality）。

通过这一联系，BDOF 在已知时间流向（即视频向前、向后）时，可以通过前向帧和期望预测方向的下一个关联帧，推导出当前帧的实际光流场变化情况。进而在无保存当前帧数据的前提下，求得当前帧的实际灰度值（亮度参考值）。

对于采用具有线性色彩空间映射关系的规格，依赖线性转换保证了关于灰度的推理，这时 BDOF 也可以适用在各自的原色格式（RGB）的数据通道上。但由于视频传输中，一般不直接采用会造成大量数据浪费的原色格式，所以，BDOF 只被用来对传输格式（YUV）代表亮度值的 Y 通道数据，进行冗余控制。

本质上，双向光流预测是个类似二次牛顿法的逼近求解过程。根据镜像的特性，推导可转为线性求中值（对应的交点最小值）。如下图所示：

假设，当前临近三帧有需要推算分块 $m$ 范围内像素点 $p = (x,\ y)$ 的灰度。 按时序方向（视屏正常播放方向，图中由下而上） 的前向帧（过去帧）为 $R_0$ 有块灰度值 $I_0$ 集、当前帧为 $R_c$ 有块灰度值 $I_c$ 集、后向帧（未来帧）为 $R_1$ 有块灰度值 $I_1$ 集。根据 LK 的局部光流趋同性，分块 $m$ 范围内像素点的光流相等，可记 $R_0$ 光流 $\vec{v}_A$ ， $R_1$ 光流 $\vec{v}_B$ 。

由于人为的有 $R_0$ 、 $R_1$ 的光流在 $R_c$ 镜像对称，如果记 $R_0$ 光流 $\vec{v}_A =(V_x,\ V_y)$ ，则 $R_1$ 光流 $\vec{v}_B =(-V_x,\ -V_y)$ ，即 $\vec{v}_B = -\vec{v}_A$ 。

那么，将关系代入 LK 条件下的基础光流公式，存在块间光流满足：

${\displaystyle \begin{aligned} &{ \begin{cases} +\nabla_x I_0 \cdot V_x \ +\ \nabla_y I_0 \cdot V_y \ +\ \varepsilon \ =\ -\nabla_t I_0 \\ -\nabla_x I_1 \cdot V_x \ -\ \nabla_y I_1 \cdot V_y \ +\ \varepsilon \ =\ -\nabla_t I_1 \end{cases} } \\ \end{aligned} }$

因为从 $R_0 \rightarrow R_c \rightarrow R_1$ 只 推移单位时间，所以有关时间单位导数近似：

${\displaystyle \begin{aligned} &{ \begin{cases} \nabla_t I_0 \ =\ I_0 \ -\ I_c \\ \nabla_t I_1 \ =\ I_1 \ -\ I_c \end{cases} } \Rightarrow \nabla_t I_0 - \nabla_t I_1 \ =\ \Delta I \\ \end{aligned} }$

则三者间的光流关系可化为：

${\displaystyle \begin{aligned} &{ \begin{cases} I_0 \ -\ I_c \ +\ \nabla_x I_0 \cdot V_x \ +\ \nabla_y I_0 \cdot V_y\ +\ \varepsilon \ =\ 0 \\ I_1 \ -\ I_c \ -\ \nabla_x I_1 \cdot V_x \ -\ \nabla_y I_1 \cdot V_y \ +\ \varepsilon \ =\ 0 \end{cases} } \\ \end{aligned} }$

未知量有 $I_c$ 和 $(V_x,\ V_y)$ 三个，是无法单独依赖上方的方程组，只通过两个约束获取的。 不过，块的光流 仍然 是满足 LK 约束，而 LK 法提供了对光流相对独立的预估，配合背景有：

${\displaystyle \begin{aligned} &{ \begin{cases} \vec{v}_A = \begin{bmatrix} +V_x \\ +V_y \end{bmatrix} = ({M_{c0}}^T \cdot M_{c0})^{-1} \cdot {M_{c0}}^T \cdot M_{t0} \\ \vec{v}_B = \begin{bmatrix} -V_x \\ -V_y \end{bmatrix} = ({M_{c1}}^T \cdot M_{c1})^{-1} \cdot {M_{c1}}^T \cdot M_{t1} \end{cases} } \\ \end{aligned} }$

即：

${\displaystyle \begin{aligned} \begin{bmatrix} V_x \\ V_y \end{bmatrix} &= \tfrac{1}{2}[({M_{c0}}^T \cdot M_{c0})^{-1} \cdot {M_{c0}}^T \cdot M_{t0} + ({M_{c1}}^T \cdot M_{c1})^{-1} \cdot {M_{c1}}^T \cdot M_{t1}] \\ &= [\tfrac{({M_{c0}}^T \cdot M_{c0})^{-1} \cdot {M_{c0}}^T}{2} \cdot M_{t0} + \tfrac{({M_{c1}}^T \cdot M_{c1})^{-1} \cdot {M_{c1}}^T}{2} \cdot M_{t1}] \\ \end{aligned} }$

而同理于时域梯度的差值近似。对于分块 $m$ 范围内像素点 $p = (x,\ y)$ 的空域灰度梯度，也可近似换算为：

${\displaystyle \begin{aligned} &{ \begin{cases} \nabla_x I_0 \ =\ \frac{I_0(x+1) \ -\ I_0(x-1)}{2} \\ \nabla_y I_0 \ =\ \frac{I_0(y+1) \ -\ I_0(y-1)}{2} \\ \nabla_x I_1 \ =\ \frac{I_1(x+1) \ -\ I_1(x-1)}{2} \\ \nabla_y I_1 \ =\ \frac{I_1(y+1) \ -\ I_1(y-1)}{2} \end{cases} } \Rightarrow { \begin{cases} \nabla_x I_0 + \nabla_x I_1 \ =\ \Delta avg(I_x) = \Delta \bar{I_x} \\ \nabla_y I_0 + \nabla_y I_1 \ =\ \Delta avg(I_y) = \Delta \bar{I_y} \\ \nabla_x I_0 - \nabla_x I_1 \ =\ avg(\Delta I_x) = \bar{\Delta I_x} \\ \nabla_x I_0 - \nabla_x I_1 \ =\ avg(\Delta I_y) = \bar{\Delta I_y} \end{cases} } \\ \end{aligned} }$

代入样本梯度到 $M_c =\begin{bmatrix} \sum \nabla_x I_m , \ \sum \nabla_y I_m \end{bmatrix}$ ，$M_t =\begin{bmatrix} \sum -\nabla_t I_m \end{bmatrix}$ ，展开可得 $(V_x,\ V_y)$ 取值：

${\displaystyle \begin{aligned} \begin{bmatrix} V_x \\ V_y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \frac{\sum (\Delta \bar{I_x} \Delta \bar{I_y} ) \cdot \sum (\Delta \bar{I_y} \Delta I) - \sum (\Delta \bar{I_x} \Delta I ) \cdot \sum \Delta \bar{I_y}^2} {\sum \Delta \bar{I_x}^2 \cdot \sum \Delta \bar{I_y}^2 - \sum (\Delta \bar{I_x} \Delta \bar{I_y}) \cdot \sum (\Delta \bar{I_y} \Delta \bar{I_x}) } \\ \frac{\sum (\Delta \bar{I_x} \Delta \bar{I_y} ) \cdot \sum (\Delta \bar{I_x} \Delta I) - \sum (\Delta \bar{I_y} \Delta I ) \cdot \sum \Delta \bar{I_x}^2} {\sum \Delta \bar{I_x}^2 \cdot \sum \Delta \bar{I_y}^2 - \sum (\Delta \bar{I_x} \Delta \bar{I_y}) \cdot \sum (\Delta \bar{I_y} \Delta \bar{I_x}) } \end{bmatrix} \\ \end{aligned} }$

现在，只有 $I_c$ 是未知的了，而可取范围在分块 $m$ 之内时，对于任意块内点 $I_c = I_p$ 。 代入原方程组即可，有：

${\displaystyle \begin{aligned} I_c \ &=\frac{\ I_0 \ +\ I_1 \ +\ (\nabla_x I_0 - \nabla_x I_1) \cdot V_x \ +\ (\nabla_y I_0 - \nabla_y I_1) \cdot V_y}{2} \ +\ \varepsilon \\ &=\frac{\ I_0 \ +\ I_1 \ +\ \bar{\Delta I_x} \cdot V_x \ +\ \bar{\Delta I_y} \cdot V_y}{2} \ +\ \varepsilon \\ I_c \ &=I_p \quad \quad p(x,\ y) \in m \end{aligned} }$

式子中的 $\varepsilon$ 为误差修正值，一般取 $\varepsilon = 0.5$ 。

如是，双向光流预测的基本原理，数理推导佐证完毕。

可见，BDOF 的算力消耗重点是在有关 $(V_x,\ V_y)$ 的求解上。所以，工程化会采用小于当前分块的子块大小做卷积核，使用近似求解快速计算。当然也可以在满足精度要求下，通过模型化解决，思路类似于光流补帧的数据预处理。而由于涉及到规格中的不少工程处理技巧，有关 BDOF 标准化的部分，我们留到 H.266 规格详解时再行展开。