1.3.2 响度（Loudness）

响度（Loudness），有时虽不准确但也会被称为 音量（Volume），是指人对声音大小的 主观感知量（Subjective Perceptions），是对声波的 声压（Acoustic Pressure） 物理量的感观描述。响度是根据人对不同声压反应，而人为测量出的一种 非客观（Non-Objective） 的量化值。

响度的早期单位是 宋（Sone），这是一个 主观标定的单位。同 音高 一样，来自于 史丹利·史密斯·史蒂文斯（S. S. Stevens） 于 1963 年的实验结果 [4] 。

由于主观成分因素，宋 同样不属于当前 国际通用的计量体系单位（SI Unit [International System of Units]），而且因相对粗粒度而不太经常被采用。工程通用对响度进行衡量的单位，是声压级。

声压级（SPL [Sound Pressure Level]）

声压级（SPL [Sound Pressure Level]） 是由 美国国家标准学会（ANSI [American National Standards Institute]） 测定，同样为 主观标定的 响度单位。但由于相对精确的度量水平，在通常非实验误差情况下，可以作为稳定的工程单位使用。声压级单位为 分贝（dB），常用 $N$ 表示代指。

我们有当前最新一次实验室精确测量的 ANSI/ASA S1.1-2013 规格为基准 [7] 。修正锚定 以 1000Hz 纯音，在人耳能听见的最小阈限压强 $p_{ref} = 20 \mu Pa$ 为 $1 \ dB$ 值，由此推导得声压级公式：

${\displaystyle \begin{aligned} N &= 20 \cdot \log_{10} \left( \frac{p}{p_{ref}} \right) \\ \end{aligned} }$

其中，

• 以 $p$ 代表当前目标声音，对应声波的 声压（Acoustic Pressure）；
• 以 $p_{ref}$ 代表 参考声压（Reference Acoustic Pressure），为规格固定量， $p_{ref} = 20 \mu Pa$ ；

而在 ANSI 的声压级单位系统下，记宋体系响度为 $L_N$ ，则分贝（dB）与 宋（Sone）存在换算关系：

${\displaystyle \begin{aligned} L_N &= 2^{\tfrac{N - 40}{10}} \\ \end{aligned} }$

即：

${\displaystyle \begin{aligned} N &= 40 + \log_2 \left( L_N \right) \\ \end{aligned} }$

除 宋（Sone） 以外，另一个常见的体系是 方（Phon）。在该修订里，规定：

${\displaystyle \begin{aligned} 40 \ dB = 40 \ Phon = 1 \ Sone \\ \end{aligned} }$

一般情况下，宋（Sone）和方（Phon）用于常量标记，而 SPL分贝（dB）用于响度值。

但是，从前文我们得知，自然界中的大部分声音，其本身就是复合的。这种情况下怎么评估它的响度呢？

此时，就需要使用 复合频率下 的声音计算公式了。

复合响度公式（Multi-Source Loudness Formula）

假设一个 单一的自然声（Natural Sound），记为 $N_{\sum}$ 由一组声压为 $p = [p_0,\ p_1,\ \cdots \ ,\ p_n]$ 的单频率声波组成，有：

${\displaystyle \begin{aligned} N_{\sum} &= 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{ {p_0}^2 + {p_1}^2 + \cdots +{p_n}^2 }{ {p_{ref}}^2 } \right) \\ &= 10 \cdot \log_{10} \left( \sum^n \left( \frac{p_i}{ p_{ref}} \right)^2 \right) \\ \end{aligned} }$

而工程中的单频率声波代表参数，可能直接为响度，如 $L = [L_0,\ L_1,\ \cdots \ ,\ L_n]$ 。则带入单频率响度公式，上式可写为：

${\displaystyle \begin{aligned} N_{\sum} &= 10 \cdot \log_{10} \left( \sum^n \left( \frac{p_i}{ p_{ref}} \right)^2 \right) = 10 \cdot \log_{10} \left( \sum^n 10^{\frac{L_i}{10\ dB}} \right) \\ &= 10 \cdot \log_{10} \left( 10^{\frac{L_0}{10\ dB}} + 10^{\frac{L_1}{10\ dB}} + \cdots + 10^{\frac{L_n}{10\ dB}} \right) \\ \end{aligned} }$

这就是 声音（复合声波）的响度公式。

可虽然 分贝（dB）系统最为广泛且常常被使用，但却 仍然不属于 国际通用的计量体系单位（SI Unit）。 真正被作为科学的单位，是声强（Sound Intensity）。

声强（Sound Intensity）

声强（Sound Intensity） 是对单个声波强度的科学表示，指声波在单位面积下所具有的声压（Acoustic Pressure），对外功率之和。

声强单位为 瓦每平方（ $W/m^2$ ），一般被记为 $I$ 表示。有：

${\displaystyle \begin{aligned} I &= p \cdot \vec{v} \\ \end{aligned} }$

其中，

• 以 $p$ 代表当前目标声音，对应声波的 声压（Acoustic Pressure） ；
• 以 $\vec{v}$ 代表机械波的做功方向，是个 速度量，每个维度分量单位都为 米每秒（m/s） ；

由于一般我们用声强来计算，理想状态的当前声波能量值。为了简化计算，通常会选择均匀介质情况的理想单点声源，作为背景条件。这种情况下，做工方向 $\vec{v}$ 就可以被认为是 球面坐标中，单位平方点的向外法向量了。

于是，声强 $I$ 即可转为，由声压 $p$ ，传播介质密度 $\rho$ ，和声速 $c$ ，计算表示：

${\displaystyle \begin{aligned} I &= \frac{p^2} {\rho c} \\ \end{aligned} }$

因为一般都是在空气介质中进行衡量，所以有 $\rho \approx 1.293 \ kg/m^3$ ，而 $c \approx 343 \ m/s$ 。 所以，根据声压快速获取对应声音在空气中的声强公式为：

${\displaystyle \begin{aligned} I &\approx \frac{p^2} {443.499} \ W/m^2\\ \end{aligned} }$

使用上式速算时，压强取 帕斯卡（Pa）数量级下的数值即可。

那么，声强和响度是什么关系呢？ 很遗憾，两者分属不同系统，并不存在 直接上的 关联。但存在 间接换算 关系。

声强级（SIL）与 声压级（SPL）的换算

声强级（SIL [Sound Intensity Level]） 类似于 声压级（SPL [Sound Pressure Level]） 的定义，皆是用来 主观标定 响度的单位系统/系统单位。SIL 的单位沿用了 SPL 的 分贝（dB），甚至两者换算公式，都可基本等同。所以，仍然以 $N$ 表示声音响度，有：

${\displaystyle \begin{aligned} \frac{I}{ I_{ref} } = \frac{p^2}{ {p_{ref}}^2 } &= \left( \frac{p}{ p_{ref} } \right)^2 \\ N = 20 \cdot \log_{10} \left( \frac{p}{ p_{ref} } \right) &= 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{I}{ I_{ref} } \right) \\ \end{aligned} }$

以 $N_{\sum}$ 表复合，取声压 $p = [p_0,\ p_1,\ \cdots \ ,\ p_n]$ ，声强 $I = [I_0,\ I_1,\ \cdots \ ,\ I_n]$ ，则复合响度公式有：

${\displaystyle \begin{aligned} N_{\sum} &= 10 \cdot \log_{10} \left( \sum^n \left( \frac{p_i}{ p_{ref} } \right)^2 \right) = 10 \cdot \log_{10} \left( \sum^n \left( \frac{I_i}{I_{ref}} \right) \right) \\ &= 10 \cdot \log_{10} \left( 10^{\frac{L_0}{10\ dB}} + 10^{\frac{L_1}{10\ dB}} + \cdots + 10^{\frac{L_n}{10\ dB}} \right) \\ \end{aligned} }$

至此，两个主客观系统间，达成了转换条件。一般的 $p_{ref} = 20 \mu Pa$ 时，有 $I_{ref} = 1 \ pW/m^2$ 。我们用声压级表示响度，而以声强计算能量。