3.1 信号分析的核心算法 - 傅立叶变换

傅立叶变换（FT [Fourier Transform]） [1] 可理解为：任意函数都存在由给定复指数函数空间（Complex Exponential Functions Space）的一组正交基（Orthogonal Bases），使得原函数可以被分解为该复指数函数空间下最大完备解的权重向量形式表示 [2] 。利用原函数与分量函数内积为该方向解分量且正交基内任意两个方向的方向函数内积为 0 的特点，来用解的人为限定有限维度子集逼近函数本身的数学方法 [3] 。这里，描述构成原函数的分量函数集与其所占权重分量（即求得的正交基），共同构成了该函数的傅里叶基（Fourier Basis）[4] [5]。

如果记原函数为 $F$，复指数函数空间为 ${\mathcal {F}}_{\omega} = [{\mathcal {F}}_{\omega_1},{\mathcal {F}}_{\omega_2},\ ...\ ,{\mathcal {F}}_{\omega_{n}}]$，傅里叶基为 ${\mathcal {F}} = [\hat{f}_1,\hat{f}_2,\ ...\ ,\hat{f}_n]$，且 $n_{max} = N$，则这一关系从空间投影变换角度来看 [6]，可以表示为：

${\displaystyle \begin{aligned} N \cdot F = {\mathcal{F}_{\omega}}^T \cdot {\mathcal {F}} = { \begin{bmatrix} \mathcal{F}_{\omega_1} \\ \mathcal{F}_{\omega_2} \\ \vdots \\ \mathcal{F}_{\omega_n} \end{bmatrix} } \cdot [\hat{f}_1,\hat{f}_2,\ ...\ ,\hat{f}_n] \end{aligned} }$

傅里叶变换被作为基础原理之一运用在数字信号（广义）的处理过程并处于核心地位。而在数字信号处理（DSP）中，我们把所有类型信号都抽象成，由一系列离散化数据构成的函数模型表示。这些函数并不一定都是周期性、单一维度的。这时我们需要一种手段，使得能够用统一的方式描述所有不同表征的函数，从而一致性的交付系统（不一定是电脑）处理。傅里叶变换正是这种化繁为简的理论工具（Theoretical Tools），通过它我们能够将任意信号函数转换为傅里叶级数展开，进而转化为复数平面上一系列构成谐波关系的周期性基础三角函数和表示。傅里叶变化作为对信号进行分解描述的方法论，并不局限于单维声音信号，针对二维图片信号或更高维的数据也能够拓展延伸（即可拓展性）。而这也是我们进行感知数据数字化的理论依据。

因此，理解上式如何被运用是进行学习的关键。那么这在工程上主要体现在哪儿呢？我们需要从最简单的傅里叶变换，即一维傅里叶变换开始了解。